Exponentielles Wachstum

Wir kennen exponentielles Wachstum vom Sparbuch: Wenn wir einen bestimmten Prozentsatz pro Jahr dazu gewinnen, dann sind die Prozenze im 30. Jahr absolut viel größer als im ersten Jahr - der Zinseszinseffekt und demnach eine Steigerung der Basis, aufgrund er die nächste Steigerung berechnet wird. Die Prozent Steigerung sind immer die gleichen (hoffentlich...), das zugewonnene Geld aber am Ende mehr.

In der anderen Richtung geht das natürlich auch. Die Halbwertszeit von atomarem Abfall wäre soetwas. Die Hälfte im ersten Zeitraum ist dabei absolut viel. Im zweiten Zeitraum nur die halbe Menge, obwohl auch wieder 50% reduziert werden. Exponentiell ist dabei oft schwerer vorstellbar als lineares Wachstum, bei dem man jede Zeiteinheit absolut den gleichen Betrag hinzuzählt oder abzieht.

Mit dem Covid-Wachstum ist das exponentielle Wachstum in aller Munde (für viele in der Nase), weil es synonym für starkes Wachstum genannt wird. Das ist es aber nicht. Ausbreitungen von Viren sind per definition exponentiell, denn die Chance, dass ein Mensch einen anderen ansteckt, ist immer gleich groß - eine größere Anzahl Menschen steckt also wiederum im gleichen Verhältnis an, genauso wie bei den Zinseszinsen geht die Zahl mitunter schnell nach oben. Oder nach untern, wenn weniger Menschen pro Person angesteckt werden (kleinere R-Zahl). Selbst das ist exponentiell.

Die Frage, ob wir nach einem Lockdown wieder in ein exponentielles Wachstum kommen, ist also grundverkehrt. Wir sind auch im Lockdown in einem solchen. Hoffentlich in einem, bei dem die Werte abnehmen ('Halbwertszeit'-Beispiel als Analogie), aber immer noch in der Exponentialkurve.

Um das exponentielle Wachstum abzurunden: Die Formel wäre in der Form 'Nächster Wert' ergibt sich aus 'aktueller Wert' multipliziert mit 'Wachstumskonstante' hoch 'Zeit'. Setzt man aktuelle Corona-Infizierte mit einer Wachstumskonstante von 1,03 (3% Wachstum am Tag) und als Zeit-Faktor 7 (eine Woche) ein, bekommt man die angesteckten in einer Woche für diese Annahme. Ist die Wachstumskonstante nahe an 1 gibt es praktisch kein Wachstum, aber auch das ist exponentiell. Ist die Konstante kleiner als 1, sinkt die Zahl in der nächsten berechneten Periode.

Gemein ist wie gesagt die anfangs langsame Steigerung, die dann schnell Fahrt aufnimmt. Mit den genannten Werten von 3% Steigerung am Tag hätten wir ausgehend von 1000 Infizierten am Folgetag 1030 Infizierte. Nach einer Woche sind es knapp 1200. Nach einem Monat wären aber schon 2500 Menschen infiziert. Nach drei Monaten 14000, nach einem Jahr schon um die 50 Millionen. Alles mit nur 3% Steigerung am Tag. Das ist 'exponentiell', selbst bei minimalsten Steigerungsraten am Tag.

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#Mathematik #Wachstum #Zinsen #Corona

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